infini linéaire

Résistons a écrit:
2) La conjecture de Woodin semblerait infirmer cette hypothése, mais elle est loin de faire l'unanimité chez les théoriciens.,

Deux théorèmes à ce sujet:
(Gödel, 1938) Si ZFC est non contradictoire, il n’existe pas de preuve de ¬HC à partir de ZFC.
(Cohen, 1963) Si ZFC est non contradictoire, il n’existe pas de preuve de HC à partir de ZFC.
le système axiomatique ZFC est donc incomplet et l'hypothèse du continu (HC) est indécidable sans ajout d'un axiome supplémentaire à ZFC (c'est un peu comme le postulat d'Euclide en géométrie).
Ce qui permet d'envisager une théorie des nombres avec HC et une autre théorie des nombres avec ¬HC

keinlezard a écrit:hello :)

j'aime à me retrouver étudiant :) merci ...
je suis un béotien en mathématique
donc ma reflexion risque de paraitre bête :)
Dans ton exemple sur le dé ... le cardinal est de 6, il appartient
à l'ensemble ... alors j'avoue que je ne comprend pas
que Card(N) = aleph-0 n'appartienne pas a N ...

est ce un définition ou est cela a t il été démontré ?

V+

Non, cela se démontre "facilement" par l'absurde

Rappelons que N c'est l'ensemble des nombre entiers naturels.

Supposons alors que aleph-0 appartienne à N.

Or rappelons que l'ensemble N est une construction mathématique définie par les 5 axiomes de Peano

Alors, si on prend le second axiome de Peano, tout élément n de N a un successeur s(n), noté en arithmétique n+1.

Donc comme nous avons posé que aleph-0 appartenait à N, il a donc un successeur aleph-0 + 1 qui a lui même un successeur et on continue récursivement

or l'ensemble H = {1,2,3...,aleph-0, aleph-0 + 1,...} ainsi construit, a donc par définition un cardinal strictement supérieur à aleph-0. donc card(H) > card(N) = aleph-0

Or H est trivialement inclus dans N. card(H) <= card(N) = aleph-0

On aboutit donc à une contradiction. ce qui prouve que l'hypothése de départ est erronnée, et que aleph-0 n'appartient pas à N

Ps : aucune question n'est fondamentalement bête! Seules les réponses le sont parfois!

zizanie a écrit:
Ce qui permet d'envisager une théorie des nombres avec HC et une autre théorie des nombres avec ¬HC

c'est rigoureusement exact!

cela rejoint même un peu la métaphysique ou plus justement la métamathématique (eh oui ca existe! :) ), car

cc wikipedia :

historiquement les mathématiciens en faveur d'une large classe d'ensembles rejettent l'hypothèse du continu (HC), alors que ceux favorables au contraire à une ontologie ensembliste plus restreinte l'acceptent.

Pour info, je suis plutôt dans la seconde catégorie!

merci :)

keinlezard a écrit:
Dans ton exemple sur le dé ... le cardinal est de 6, il appartient
à l'ensemble ...

Et puis keinlezard, je rebondis aussi sur cette partie de ton questionnement!

Il faut comprendre que dans cet exemple, que le cardinal soit un élément de l'ensemble est un cas particulier, du à la configuratio du dé!

Si je prend un autre ensemble disons {As, Roi, dame,Valet, 10 ,9}, le cardinal de cet ensemble est le même, c'est à dire "6", mais l'élément "6" n'est pas dans l'ensemble!

Résistons a écrit:
Il faut comprendre que dans cet exemple, que le cardinal soit un élément de l'ensemble est un cas particulier, du à la configuratio du dé!

Si je prend un autre ensemble disons {As, Roi, dame,Valet, 10 ,9}, le cardinal de cet ensemble est le même, c'est à dire "6", mais l'élément "6" n'est pas dans l'ensemble!

Oui mais cela reviendra au même pour tout ensemble dénombrable (fini ou infini) quelle que soit la nature de ses éléments car une bijection est toujours possible avec un sous-ensemble d'entiers naturels ordonnés consécutifs à partir de 1

zizanie a écrit:

Résistons a écrit:
Il faut comprendre que dans cet exemple, que le cardinal soit un élément de l'ensemble est un cas particulier, du à la configuratio du dé!

Si je prend un autre ensemble disons {As, Roi, dame,Valet, 10 ,9}, le cardinal de cet ensemble est le même, c'est à dire "6", mais l'élément "6" n'est pas dans l'ensemble!

Oui mais cela reviendra au même pour tout ensemble dénombrable (fini ou infini) quelle que soit la nature de ses éléments car une bijection est toujours possible avec un sous-ensemble d'entiers naturels ordonnés consécutifs à partir de 1

Effectivement.

En d'autres termes, on peut définir entre les ensembles {1,2,3,4,5,6} et l'ensemble {As, Roi, dame,Valet, 10 ,9} une bijection.

Une possible est de poser la bijection f, définie comme ceci !

f(1) = Valet
f(2) = Dame
f(3) = Roi
f(4) = As
f(5) = 10
f(6) = 9

(Toute permutation sigma de cette application est bien entendu, aussi valable...)

Pour observer que f est effectivement une bijection.

Ces deux ensembles sont équipotent et ont de fait le même cardinal.

Certes pour un exemple aussi trivial, ce passage a la bijection peut paraître farfelu, mais il devient utile lorsque les ensembles de départ et d'arrivée sont infinis!

Résistons a écrit:
cc wikipedia :

historiquement les mathématiciens en faveur d'une large classe d'ensembles rejettent l'hypothèse du continu (HC), alors que ceux favorables au contraire à une ontologie ensembliste plus restreinte l'acceptent.

Pour info, je suis plutôt dans la seconde catégorie!

C'est curieux cette prise de position? Je pensais "naïvement" que les mathématiques étant une science abstraite, qu'il n'était pas nécessaire d'être attaché, outre mesure, aux objets manipulés et que donc un mathématicien pouvait étudier les différentes hypothèses sans état d'âme. Faire de la géométrie Euclidienne ou de Riemann, utiliser l'hypothèse du continu ou non, etc...
Je comprends qu'on ait des choix à faire car le domaine à explorer est vaste et la spécialisation est nécessaire mais qu'on se poste en principe sur une hypothèse particulière, m'étonne.

Je me rappelle un prof de math qui en démontrant ses théorème ajoutait quand nécessaire la phase: "et si on fait l'hypothèse du continu alors ..." ce qui voulait dire clairement que sans cette hypothèse, le théorème n'était pas démontré ou même indémontrable.

zizanie a écrit:

Résistons a écrit:
cc wikipedia :

historiquement les mathématiciens en faveur d'une large classe d'ensembles rejettent l'hypothèse du continu (HC), alors que ceux favorables au contraire à une ontologie ensembliste plus restreinte l'acceptent.

Pour info, je suis plutôt dans la seconde catégorie!

C'est curieux cette prise de position? Je pensais "naïvement" que les mathématiques étant une science abstraite, qu'il n'était pas nécessaire d'être attaché, outre mesure, aux objets manipulés et que donc un mathématicien pouvait étudier les différentes hypothèses sans état d'âme. Faire de la géométrie Euclidienne ou de Riemann, utiliser l'hypothèse du continu ou non, etc...
Je comprends qu'on ait des choix à faire car le domaine à explorer est vaste et la spécialisation est nécessaire mais qu'on se poste en principe sur une hypothèse particulière, m'étonne.

Je me rappelle un prof de math qui en démontrant ses théorème ajoutait quand nécessaire la phase: "et si on fait l'hypothèse du continu alors ..." ce qui voulait dire clairement que sans cette hypothèse, le théorème n'était pas démontré ou même indémontrable.

Tu as fondamentalement raison!

Mais ici, il s'agit en fait d'une prise de position métamathématiques, de confort, ou de "beauté". D'ou ma précision du "plutôt" dans la catégorisation. Ce n'est même pas une opinion à proprement parler. Juste d'une préférence, en quelque sorte!

C'est aussi sur ce genre de "propositions indécidables" que les débats mathématiques peuvent avoir leur raison d'être. Car pourquoi débattre sur des propositions démontrées et validées?

Mais cette position "a priori" n'influence en rien le fait que les mathématiques restent une abstraction, et qu'on peut toujours "jongler" sans arrière-pensée avec l'une ou l'autre des hypothèse lorsque cela s'impose! car ce ne sont pas des positions existentialistes! :)

De plus ce débat est très intéressant. Lorsque je précise "plutôt", c'est aussi que les arguments et les implications de l'autre hypothéses sont loin d'être insatisfaisantes, et ont aussi leur lot d'avantage et d'attirance!

Bref, j'ai tendance à préférer la beauté et la continuité de HC, mais je n'ai aucun problème pour travailler avec non-HC, si c'est nécessaire! Ce n'est pas bloquant!

En physique, c'est bien pareil, entre la relativité générale d'Einstein qui considère une continuité du monde (ce qui n'empêche pas l'existence de singularités, bêtes noires des physiciens) et la discontinuité de principe de la MQ, ils ont bien du mal à "joindre les deux bouts".
Mais chacun travaille avec les théories les mieux adaptées à leur domaine de recherche et en physique "ordinaire", Newton est encore utilisé.

zizanie a écrit:En physique, c'est bien pareil, entre la relativité générale d'Einstein qui considère une continuité du monde (ce qui n'empêche pas l'existence de singularités, bêtes noires des physiciens) et la discontinuité de principe de la MQ, ils ont bien du mal à "joindre les deux bouts".
Mais chacun travaille avec les théories les mieux adaptées à leur domaine de recherche et en physique "ordinaire", Newton est encore utilisé.

exact, je crois que l'analogie est effectivement valide!

Bien qu'ici, la question est beaucoup plus "existentielle", et moins de l'ordre du détail que le choix entre HC ou non! :)

Je te remercie pour ce cours de maths , Résistons mais ma demande de départ n'allait pas si loin et j'ai l'impression qu'il en reste encore un peu en suspens .
Y a t-il des infinis ou un infini considéré comme achevé en math ?
Si oui , est-ce que ma supposition de départ à savoir : "une infinité d'éléments se trouvant à distance finie " est possible ? Bon, je pense que tu as répondu affirmativement à cette dernière question en gros .
En fait c'est pour des raisons philosophiques que je demandais cela .

JKL38 a écrit:.
En fait c'est pour des raisons philosophiques que je demandais cela .

Dans ce cas, attention à la transposition des axiomes mathématiques vers des axiomes philosophiques.

JKL38 a écrit:
Y a t-il des infinis ou un infini considéré comme achevé en math ?
.

Pour te répondre plus sur le plan philosophique, la question n'est pas vraiment tranchée. Voire elle n'est pas tranchable!

Hilbert, par exemple, considérait que la droite matérialisait l'infini achevé des réels (même si les réels ne forment pas un ensemble dénombrable).

Puis on a découvert les nombres transcendants, qui, par définition, ne peut être représenté en un nombre infini d'étapes à la règle simple (formulation géométrique de l'infini achevé).

C'est donc Bolzano et Cantor, encore lui, qui ont formulé mathématiquement la notion d'ensemble infini achevé de la facon suivante : Un ensemble transfini d'élément est achevé, si l'ensemble de ses parties permet d'indexer les éléments d'un continu. (transfini = infini chez cantor)

C'est barbare, hein?

Mais chez un de mes mathématiciens préférés, Poincaré, cet infini achevé, n'est qu'une construction mentale, et seul existe l'infini potentiel! Il ne faisait d'ailleurs que reprendre un argument de Kronecker et avant lui de Gauss!

Pour ceux-ci, en effet, le fait de considérer une infinité d'objets comme un tout, par exemple tous les entiers naturels, c'est-à-dire la notion même d’ensemble infini, n'a pas de sens.

L'infini résulte seulement d'un procédé d'énumération sans répétitions qui ne s'interrompt pas. Seul l'infini dénombrable peut alors avoir à la rigueur un sens ; il est compris par le procédé qui l'engendre, plutôt que par la totalité de ses éléments.

Bref, en d'autres termes ces ensemble n'ont pas de réalité mathématiques ou ensemblistes, et cet "achèvement" n'est qu'une vue de l'esprit. Ce n'est que par construction qu'il deviennent infini, et par exemple N , n'existe que récursivement par application des axiomes de Peano, et pas par lui-même.

Et finalement c'est l'intuitionnisme de Brouwer qui élaborera la forme la plus abouti de la conception anti- infini achevé. Pour ce dernier seul l'infini dénombrable (en tant qu'infini potentiel) existe!

Mais nn distinguant le premier deux infinis distincts (l'achevé et le potentiel), et en en déduisant de façon simple un résultat mathématique déjà obtenu de façon différente par Joseph Liouville, Cantor donne des arguments pour l'infini complet/achevé, qu'aujourd'hui ne songent même plus à discuter la très grande majorité des mathématiciens.

C'est pas simple, hein?

D'accord je comprends ces différents points de vues . Donc d'aprés ce que tu dis , Cantor devait considérer l'ensemble N comme un infini achevé .
C'est ce qui importe pour moi ici .

JKL38 a écrit:D'accord je comprends ces différents points de vues . Donc d'aprés ce que tu dis , Cantor devait considérer l'ensemble N comme un infini achevé .
C'est ce qui importe pour moi ici .

Complètement, il l'a même théorisé!

Tu veux des références plus complètes que mes quelques palabres ici?

Merci Résistons , tu as largement répondu à mes questions .

Sur un segment de droite, ne peut-on pas considérer qu'il y ait un nombre infini achevé (et non potentiel) de points? Quels que soient les points de vue?

zizanie a écrit:Sur un segment de droite, ne peut-on pas considérer qu'il y ait un nombre infini achevé (et non potentiel) de points? Quels que soient les points de vue?

Non, d'un segment de droite, on peut trouver facilement une bijection avec une droite!

Considérons une droite D et le segment ]-Pi/2,Pi/2[. Projetons tous les points de D sur la courbe représentative de la fonstion Arctangente puis projetons tous les points de cette courbe sur le segment ]-Pi/2,Pi/2[ et nous obtenons facilement une bijection entre un segment ouvert et une droite.

Ainsi, le cardinal d'un segment de droite quelconque (un changement de variable simple permet de se ramener au segment ]-Pi/2,Pi/2[), est strictement le même que celui d'une droite quelconque!

Le cardinal du segment de droite est donc aleph-1. Il est non-dénombrable, et ne peut en aucun cas être considéré comme achevé

Et que dire du cardinal des points d'une infinité de segments de droite, chacun ayant le cardinal aleph-1?

Une infinité de segments peut-être comparé par bijection à N, le cardinal de l'ensemble des segments est donc aleph-0
Le cardinal de l'ensemble des points d'un segment est aleph-1
Alors, le cardinal de l'ensemble des points de tous les segments est: (aleph-0)x(aleph-1) (*) ou simplement aleph-1 ? Et pourquoi?

(*) En supposant que la multiplication sur les transfinis ait un sens.

zizanie a écrit:Et que dire du cardinal des points d'une infinité de segments de droite, chacun ayant le cardinal aleph-1?

Une infinité de segments peut-être comparé par bijection à N, le cardinal de l'ensemble des segments est donc aleph-0
Le cardinal de l'ensemble des points d'un segment est aleph-1
Alors, le cardinal de l'ensemble des points de tous les segments est: (aleph-0)x(aleph-1) (*) ou simplement aleph-1 ? Et pourquoi?

(*) En supposant que la multiplication sur les transfinis ait un sens.

Etant donné qu'une droite est, par définition, composée d'une infinité de segment de droite, il est possible de définir une bijection entre l'infinité des segments de droite de départ et une droite d quelconque (en mettant par exemple, par rotation et translation, tous les segments bout à bout, ce qui est possible car par postulat, cet ensemble de segment est dénombrable). Le cardianl de cet infinité de ségments de cardinal aleph-1 est donc toujours aleph-1..

C'est étonnant de jongler avec l'infini, non?

En me relisant, je m’aperçois que j'ai commis une petite imprécision. J'ai cru que tu postulais la dénombrabilité de l'ensemble de segments. Mais ce n'est pas vraiment le cas!

En fait tu ne fais que poser une infinité de segments, et tu en déduis qu'ils sont forcément dénombrable (bijectif à N).

Mais cela n'est pas forcément vrai. Onpeut imaginer une construction d'infinité de segment qui soient en bijection avec R. Dans ce cas la réponse n'est pas la même...

Résistons a écrit:
En fait tu ne fais que poser une infinité de segments, et tu en déduis qu'ils sont forcément dénombrable (bijectif à N).

Une infinité de segments posés sur une même droite est bijecti à N mais une infinité de segments posés côtes à côtes (pour former une surface par exemple) sur un plan est bijectif à R.
C'est bien ça?

zizanie a écrit:

Résistons a écrit:
En fait tu ne fais que poser une infinité de segments, et tu en déduis qu'ils sont forcément dénombrable (bijectif à N).

Une infinité de segments posés sur une même droite est bijectif à N mais une infinité de segments posés côtes à côtes (pour former une surface par exemple) sur un plan est bijectif à R.
C'est bien ça?

Pas forcément!

Pour la simple raison, qu'une disposition "surfacique" (en dimension 2) peut être dénombrable (N² est par exemple, un espace dénombrable, pas facile à prouver mais faisable). Dans ce cas, le cardinal resterait aleph-1. Comme je le précisait, tout dépend de la construction de l'ensemble des segments. Si elle est bijective avec N^m, pour tout m de N, alors le cardinal sera aleph-1. Ce sont les construction les plus intuitives.

Construire un ensemble de segment bijectif à R est assez compliqué (à tel point que je n'ai pas la moindre idée à l'heure actuelle de comment opérer! ). Il faut se rappeler que dans ce cas, tout nombre transcendantal, comme pi ou e, aurait une image et serait image de l'inverse! Peut être demain aurai-je une idée, mais là je séche!